Robertsen: fra
forrige del har vi altså bestemt kapitalvekst uten befolkningsvekst.
F: ser vi på hva som endrer denne kapitalveksten, en reduksjon i kapitalslitet ∂, eller økt sparerate s, gir større likevektskapital.
R: Men hva nå ved å se på økonomien som helhet?
F: Ja, fra forrige del hadde vi
(1)
K(t+1)=sF(L(t),A(t),K(t))+(1-∂)K(t)
, så når kapitalen er i optimumsløsningen K*, så må sF(L(t),A(t),K(t))=∂K(t).
R: Kan vi vurdere dette per arbeidstaker?
F: Ja, i andre post så viet vi en del oppmerksomhet til at vekst må vurderes per innbygger. Vi gjør nå noen antakelser som vi senere skal endre på. La oss begynne med å si at vi ikke har teknologisk framgang, (A(t)=0) og vi har konstant skalaavkastning i produksjonen.
R: J.. tricky den der konstante skalaen...
F: .. nei, egentlig ikke. Det betyr bare at hvis vi for eksempel ganger produksjonen med to, så gir det samme produktivitetsøkning som å gange innsatsfaktoren med to. Tenk på en kis som høster bananer. Å gange antallet høstede bananer med to gir samme resultat som å øke antallet kiser til to.
 |
| Fredheims banale eksempel |
Samme gjelder i produktfunksjonen:
- 2F(L(t),K(t))=2Y(t)
- F(2L(t),2K(t))=2Y(t)
eller
- (1/L(t))F(L(t),K(t))=Y(t)/L(t)=y(t)
- F(L(t)/L(t),K(t)/L(t))=Y(t)/L(t)=y(t)
det er det siste eksempelet vi er ute etter. Betyr at
F(L(t)/L(t),K(t)/L(t))=F(1,K(t)/L(t))=Y(t)/L(t)=y(t)
f(k(t))=y(t) der k(t)=K(t)/L(t)
R: Produktivitet avhenger kun av vekst i rate kapital over arbeidskraft. En viktig forutsetning!
F: Betyr at likevekten vår nå er:
sf(k(t))=∂k(t)
Denne likevekten tilknytter en kapitallikevekt k* til en produktivitet f(k*)=y*.
R: Der det som ikke spares blir konsumert. Avstanden mellom f(k*) og sf(k*) utgjør konsumandel!
F: Det denne modellen sier oss er at hvis vi ikke har befolkningsvekst eller teknologisk endring, så vil BNP per innbygger holdes konstant, gitt at kapitalmengden ikke endres. Gitt noen (enkle) forutsetninger, så representerer k* et likevektpunkt som kapitalen alltid vender tilbake til dersom økonomien utsettes for sjokk.
R: Kan du ta et eksempel?
F: Javisst. Hvis vi antar at kurven sf(k(t)) er konkav - enkelt fortalt betyr dette at kapitalgrensen blir mindre effektiv - og krysser ∂k(t) (som er en rett strek), så vil følgende ulikheter holde:
- k<k* ; sf(k(t))>∂k(t)
- k<k* ; sf(k(t))<∂k(t)
R: Fint hvis du sier hva det betyr i praksis.
F: Tenk deg en situasjon er det er lite kapital i økonomien. I denne situasjonen er spart andel av inntekt høyere enn kapitalslitet.
R: Så dette overskuddet brukes til å kjøpe inn ny kapital..
F: Hvis kapitalen fremdeles ligger under k* vil dette føre til ny oversparing og tilsvarende kapitalvekst, til vi er tilbake i likevekt k*
R: En trappetrinnsbevegelse!
F: Ja, siden vi har modellen i diskret tid (trinn-for-trinn) vil en grafisk framstilling se slik ut. Den andre veien er litt vanskeligere å skjønne. Vi må tenke oss en situasjon der for eksempel oversparing har gitt for mye kapital (Kina). Det betyr at hver enhet kapital er lite effektiv. Men kapitalslitet per enhet kapital er konstant (vi kan tenke oss at maskinene står på selv om de produserer lite per maskin), så kapitalen slites ut inntil vi er tilbake i likevekt.
R: Kan vi si noe om forholdet mellom grenseproduktivitet og kapitalslit i denne økonomien?
F: Ja. Vi kan se på sparevilkåret i likevekt. En annen måte å se på temaet er å spørre, hvilken sparing maksimerer konsum? For det første så har vi konsumfunksjonen: c(t)=(1-s)f(k(t)). Gitt hva vi har lært om likevekt, så kan andre ledd skrives om sf(k(t))=∂k(t). I tillegg så må vi ta høyde for at kapital er bestemt endogent av sparinga, så konsumfunksjonen kan skrives slik:
c(s)=f(k(s))-∂k(s)
R: Kapital er en funksjon av sparing!
F: Ja. Differensierer vi dette resultatet får vi at i optimum
c'(s)=[f'(k(s))-∂]k'(s)=0
Nå, i denne løsningen så endres per definisjon ikke k av sparingen (husk at det er likevekt). Derfor må innholdet i klammen tilfredsstille likningen, så
f'(k(s))=∂
R: Men hvis vi tar et konkret eksempel så er jo dette ikke så vanskelig å forstå. I optimumsløsningen der sparenivået maksimerer konsum, så vil grenseproduktet til kapitalen tilsvare depresieringa.
F: Tenk deg et ølbryggeri som kan installere K øltapper som tapper ølfat. Depresieringsraten er konstant, men siden vi har avtakende grenseprodukt, så faller antallet fat når vi øker K.
R: Ikke sant! 8 tapper produserer 12 fat hver, 9 tapper produserer 11 fat hver, 10 tapper=10 fat/tapp og videre. Til slutt kommer vi til punktet der den fallende f'(k(s)) krysser ∂.
F: Vi må spare så mye at vi kan reprodusere den kapitalmengden som tilfredstiller denne.
Fredhaug og Robertsen setter seg på en bar i solsteiken og kjøper litt av det lokale øllet.
R: På tide å komme seg videre nå..
F: Jo, men Robertsen, du har kanskje oversikt på hva leserne lurer på?
R: Posten? Jo her.. Ja, vi har fått inn et leserspørsmål fra Torstein. Bilde også..
F: Ioioioi. Tror Mr. T er inne på selve kjernen av problemet i dagens utviklingsøkonomi. Kommer til å ta et år dette.. Kanskje du kan oppsummere så langt Robertsen?
R: Jeoopppo0:
- En enkel vekstmodell (såkalt Solow-modell) uten teknologisk vekst eller befolkningsvekst.
- Predikerer at det eneste som egentlig er viktig for BNP - per innbygger - er kapital per innbygger.
- Eller, egentlig så ser vi bare på de som arbeider, L.
- Kapital ja, veier er et godt eksempel. Eller ølkraner.
- Imidlertid så er det fallende grenseproduktivitet på kapital.
- Så vi vil ikke ha for mye av det. Ikke mer enn at f'(k(s))=∂.
- Vi vil ha k*. Det gir oss y*, som er maksimal produksjon gitt k*..
- ..dersom vi forutsetter at vi ønsker å maksimere konsumert andel av inntekt, så finnes det en optimal sparerate som gjør at kapitalmengden vil tilfredsstille f'(k(s))=∂.
- OBS. Ikke endogen vekst i denne modellen. Altså øker ikke BNP per innbygger.
F: Altså: veier og skoler er viktige, og vi vil ha akkurat passe, for da kan vi konsumere mest mulig. Torstein får mer svar seinere han.
R: Men hva skjer dersom vi introduserer teknologi?
