Quiz: Mine favorittfjell, Del 1

Warum? Dov'é? Hvor? Og hva?

I vekst og utvikling, del 6 - Eksponensielle Eskapader

Robertsen: må jo si at det var en betimelig forespørsel fra Generisk norsk miljøvernsorganisasjon som skal redde verden med Teknologiske Framskritt.
Fredhaug: Ja. Deres spørsmål er jo strengt tatt: kan vi ha økonomisk vekst uten å ødelegge kloden? Og svaret er: joda. Vi illustrerer dette ved å leke en liten lek.
R: Oh, leke!
F: Tenk deg at Norges økonomi er bestemt ved følgende Cobb-Douglas-funksjon:

Y(t)=A(t)K(t)^αL(t)^(1-α)

Videre har vi BNP i 2010 på 2 496,2 milliarder kroner.
R: Y(2010)=2 496,2 milliarder!
F: Korrekt. Så ser vi inne på den BNP-siden at forventa BNP-endring i prosent er på 0.3, 1.7 og 2.4 disse årene.
R: Ja...?
F: I vår modell så kan vi representere prosents vekst. Vi tar først logaritmen fra 2011..

lnY(2011)=lnA(2011) αlnK(2011)+(1-α)lnL(2011)

Og trekker fra logaritmen fra 2010..

lnY(2011)-lnY(2010)=lnA(2011)-lnA(2010)+ α[lnK(2011)-lnK(2010)+(1-α)[ln L(2011)- ln L(2010)]

R: Fysj.
F: Dette er en tilnærming til %vis vekst i BNP=%∂Y

R: Ah jah, lnY(2011)-lnY(2010)=%∂Y(2010). Sweet.

F: Som var på 0.3 - grunnet finanskrisen. Prosentvis vekst har imidlertid en forferdelig egenskap. Den er eksponensiell. Så det som høres så trivelig ut, for eksempel prosentvis vekst på 1.5, ofte trivialisert til "vekst på 1.5%", er i virkeligheten en progressivt større beskatning av begrensede ressurser. Dette er grunnen til "Limits Of Growth".
R: Foretrekker at du illustrerer med et talleksempel.
F: Javisst. Tenk på BNP-eksempelet vårt. Sett at det var gjevn vekst på for eksempel 1.5%. Endringen i BNP volum er da gitt i følgende tabell.

Y(2010)=2496.2	Y(2013)-Y(2012)=38.57
Y(2011)=Y(2010)*1.015=2533.64	Y(2012)-Y(2011)=38
Y(2012)=Y(2011)*1.015=2571.64	Y(2011)-Y(2010)=37.44
Y(2013)=Y(2012)*1.015=2610.21

R: Ja det er den grusomme sannheten av hvert år vokser BNP i absolutte tall mer enn det gjorde året før.
F: Men vi lar oss lure av prosenten, til å tro at det er noe konstant som foregår. Som om det var en naturkraft. Ok, så kan vi prøve å lure oss selv til å tro at vi kan løse dette ved stadig å øke arbeidsinnvandringa - som vi jo tilsynelatende gjør? Sett at vi skulle offsette 1.5=lnY(2011)-lnY(2010) med arbeidsinnvandring. Da er (1-α)[ln L(2011)- ln L(2010)]=1.5
R: Dømrade alpha.
F: Hva kan vi si om alpha? Vel det er et tall mellom null og én. I en kapitalintensiv økonomi -Norge- så er den mindre enn i India. Dess mindre alpha dess større virkningsgrad har befolkningsvekst på BNP.
R: Men nå sa vi jo på et tidligere tidspunkt at det kun er BNP per innbygger som t..
F: Ja, og jeg håpet vi kunne ignorere det bare for å finne en vei ut av dette uføret. Men OK, du vil ha det slik... Vi endrer på funksjonsuttrykket vårt, til BNP per innbygger:

Y(t)/L(t)=y(t)=A(t)K(t)^αL(t)^(1-α)/L(t)=A(t)k(t)^α

Vi trenger fremdeles å vite prosentvis vekst, nå i BNP per innbygger. Denne er definert ved:

ln Y(2011) - ln L (2011) - ln Y(2010) + ln L (2010) = %∂BNP/arbeider=
ln A (2011) - ln A(2010) + α [ln K (2011)-ln K (2010) -(ln L (2010)-ln L(2010))]=%∂teknologi+α%∂kapital/arbeider.

Når vi har befolkningsvekst så må de to andre faktorene kompensere med å vokse enda litt mer. Kapitalen må vokse relativt i forhold til befolkningsveksten dersom velferden skal økes - hvis velferd da er lineær funksjon av BNP vel å merke..
R: Også er det den helvetes alpha..
F: Det er den helvetes alpha, som sier oss at selv om vi skulle klare å øke kapitalmengden eksponensielt raskere enn arbeidsstyrken, så vil det fremdeles bare offsette en brøkdel så mye vekst i BNP. Prøv selv, med for eksempel alpha=0.2. Hvis vi er heldig (det er vi ikke, Norge er kapitalintensivt), så ligger alpha nære 1. Men nei.
R: Så det vi virkelig ønsker oss: BNP-vekst per arbeidstaker i form av kapitalvekst, er kostbare saker.
F: I høyeste grad. Redningen vår er teknologivekst, %∂teknologi. Det beste eksempelet er Internett.
La oss for et øyeblikk se vekk fra at det inngår en viss kapitalmengde i Internett (serverhaller ol.). Hvis vi tenker på veksten i transistorer - som er logaritmisk og dermed eksponensiell, så har dette hatt sterke multiplikatorvirkninger på det grensesnittet som bringer nytteverdien av transistorene nærmest samfunnsøkonomien - Internettet. Tenk på hva vi i dag bruker nettet til, som vi bare for få år siden var nødt til å transportere oss til å gjøre, og måtte kjøpe i form av hard kapital - musikk, bøker, filmer, tjenester, junameit. Det ville ikke overraske meg om tjensteveksten på nett, i allefall tidvis, har vært eksponensiell.
R: Så veksten i A er potensielt sett..
F: ..eksponensiell - etoset i dette kapittelet. Vi kan øke BNP uten å ødelegge verden.
R: Så hvorfor går det galt?
F: Sannsynligvis menneskets manglende vilje til å redusere kapitalinnsatsen. Vi kunne i prinsippet hatt et samfunn med nullvekst, men der man for eksempel reduserte kapitalinnsatsen i takt med for eksempel anvendeligheten til Internett. Hvis folk hadde vært villige til å gjøre kapitalnøytrale ting i det tidsrommet som de tidligere måtte bruke kapital. Et eksempel er bilbruk, som da burde nedjusteres i takt med at man får utført tjenestene som man trengte bilen til, på nett.
R: Men mennesket ser ut til å ha en innbygd drift etter å stadig øke kapitalbruken?
F: Ja, men ikke nødvendigvis. Tenk på våre holdninger - igjen til eksempelet bil da. I dag ser vi stadig flere som er villige til å redusere bilkapitalen, for eksempel ved å være medlemmer av bilringer.

Sett at vi aksepterte nullvekst i Norge - %∂BNP/arbeider=0.  Vi måtte da offsette kapitalreduksjon med økning i teknologi. Rent matematisk så holder overnevnte likhet i null hvis

%∂teknologi= α -%∂kapital/arbeider

Så hadde vi en teknologivekst på 1%, så ville kapital/labor-ratioen måtte reduseres med 1/alpha%, som er større enn 1%.
R: Hestekuren er hard i starten.
F: Ja. Trøsten er at det går bedre etterhvert. Siden prosenten er negativ, så ville den absolutte kapitalreduksjonen i volum bli mindre for hvert år. Dessuten, når kapitalintensiteten i økonomien nedjusteres, så øker grensenytten av kapital. Hver enhet kapital produserer mye mer! Så alpha blir større når den økonomiske sammensetningen endres.
R: Ja, bare tenk på bilringen. Hvis alle var medlemmer av bilringer, så ville grenseproduktet til bilparken vært mye høyere. Vi kan forstå dette som miljøpartienes prosjekt!
F: I allefall en pragmatisk tilnærming til miljøspørsmål. Ikke lavere velferd, men annen velferd. Du som leser denne bloggen kan nå altså trøste deg selv med at du er travelt opptatt med å forhindre global oppvarming.
R: Vi gratulerer, det kommer blomster i posten!
F: Det kommer ikke blomster i posten... Vi sender klimavennlige virituelle.

R: Gay.

The Only Flowchart You'll Ever Need

I vekst og utvikling, Del 5: Brevet

Kjære Fredhaug og Robertsen

Selv om dere har stort behov for å sulle rundt nedi Afrika, så kan vi faktisk informere dere om at det er valgkamp her hjemme. Nå har det seg faktisk slik, at denne har penset inn på #vekst debatten. Vi har inntrykk at det bærer aldeles galt av sted, nå har NRK lagt ut halvannen time dokumentar om hvor forferdelig grusom all denne veksten er.

Kan dere være så snille å fortelle våre kjære lesere hvordan vi kan redde verden med teknologiske framskritt?

Hjertlig hilsen,

Generisk norsk miljøvernsorganisasjon som skal redde verden med Teknologiske Framskritt.

I vekst og utvikling, del 4: hvor mye skal vi spare?

Robertsen: fra forrige del har vi altså bestemt kapitalvekst uten befolkningsvekst.
F: ser vi på hva som endrer denne kapitalveksten, en reduksjon i kapitalslitet ∂, eller økt sparerate s, gir større likevektskapital.
R: Men hva nå ved å se på økonomien som helhet?
F: Ja, fra forrige del hadde vi

(1) K(t+1)=sF(L(t),A(t),K(t))+(1-∂)K(t)

, så når kapitalen er i optimumsløsningen K*, så må sF(L(t),A(t),K(t))=∂K(t).
R: Kan vi vurdere dette per arbeidstaker?
F: Ja, i andre post så viet vi en del oppmerksomhet til at vekst må vurderes per innbygger. Vi gjør nå noen antakelser som vi senere skal endre på. La oss begynne med å si at vi ikke har teknologisk framgang, (A(t)=0) og vi har konstant skalaavkastning i produksjonen.
R: J.. tricky den der konstante skalaen...
F: .. nei, egentlig ikke. Det betyr bare at hvis vi for eksempel ganger produksjonen med to, så gir det samme produktivitetsøkning som å gange innsatsfaktoren med to. Tenk på en kis som høster bananer. Å gange antallet høstede bananer med to gir samme resultat som å øke antallet kiser til to.

Fredheims banale eksempel

Samme gjelder i produktfunksjonen: 

• 2F(L(t),K(t))=2Y(t)
• F(2L(t),2K(t))=2Y(t)

eller

• (1/L(t))F(L(t),K(t))=Y(t)/L(t)=y(t)
• F(L(t)/L(t),K(t)/L(t))=Y(t)/L(t)=y(t)

det er det siste eksempelet vi er ute etter. Betyr at 

F(L(t)/L(t),K(t)/L(t))=F(1,K(t)/L(t))=Y(t)/L(t)=y(t)

f(k(t))=y(t)                                der k(t)=K(t)/L(t)

R: Produktivitet avhenger kun av vekst i rate kapital over arbeidskraft. En viktig forutsetning!

F: Betyr at likevekten vår nå er:

sf(k(t))=∂k(t)

Denne likevekten tilknytter en kapitallikevekt k* til en produktivitet f(k*)=y*.

R: Der det som ikke spares blir konsumert. Avstanden mellom f(k*) og sf(k*) utgjør konsumandel!

F: Det denne modellen sier oss er at hvis vi ikke har befolkningsvekst eller teknologisk endring, så vil BNP per innbygger holdes konstant, gitt at kapitalmengden ikke endres. Gitt noen (enkle) forutsetninger, så representerer k* et likevektpunkt som kapitalen alltid vender tilbake til dersom økonomien utsettes for sjokk.

R: Kan du ta et eksempel?

F: Javisst. Hvis vi antar at kurven sf(k(t)) er konkav - enkelt fortalt betyr dette at kapitalgrensen blir mindre effektiv - og krysser ∂k(t) (som er en rett strek), så vil følgende ulikheter holde:

• k<k*   ;       sf(k(t))>∂k(t)
• k<k*   ;       sf(k(t))<∂k(t)

R: Fint hvis du sier hva det betyr i praksis.

F: Tenk deg en situasjon er det er lite kapital i økonomien. I denne situasjonen er spart andel av inntekt høyere enn kapitalslitet.
R: Så dette overskuddet brukes til å kjøpe inn ny kapital..
F: Hvis kapitalen fremdeles ligger under k* vil dette føre til ny oversparing og tilsvarende kapitalvekst, til vi er tilbake i likevekt k*
R: En trappetrinnsbevegelse!
F: Ja, siden vi har modellen i diskret tid (trinn-for-trinn) vil en grafisk framstilling se slik ut. Den andre veien er litt vanskeligere å skjønne. Vi må tenke oss en situasjon der for eksempel oversparing har gitt for mye kapital (Kina). Det betyr at hver enhet kapital er lite effektiv. Men kapitalslitet per enhet kapital er konstant (vi kan tenke oss at maskinene står på selv om de produserer lite per maskin), så kapitalen slites ut inntil vi er tilbake i likevekt.

R: Kan vi si noe om forholdet mellom grenseproduktivitet og kapitalslit i denne økonomien?

F: Ja. Vi kan se på sparevilkåret i likevekt. En annen måte å se på temaet er å spørre, hvilken sparing maksimerer konsum? For det første så har vi konsumfunksjonen: c(t)=(1-s)f(k(t)). Gitt hva vi har lært om likevekt, så kan andre ledd skrives om sf(k(t))=∂k(t). I tillegg så må vi ta høyde for at kapital er bestemt endogent av sparinga, så konsumfunksjonen kan skrives slik:

c(s)=f(k(s))-∂k(s)

R: Kapital er en funksjon av sparing!

F: Ja. Differensierer vi dette resultatet får vi at i optimum

c'(s)=[f'(k(s))-∂]k'(s)=0

Nå, i denne løsningen så endres per definisjon ikke k av sparingen (husk at det er likevekt). Derfor må innholdet i klammen tilfredsstille likningen, så

f'(k(s))=∂

R: Men hvis vi tar et konkret eksempel så er jo dette ikke så vanskelig å forstå. I optimumsløsningen der sparenivået maksimerer konsum, så vil grenseproduktet til kapitalen tilsvare depresieringa.

F: Tenk deg et ølbryggeri som kan installere K øltapper som tapper ølfat. Depresieringsraten er konstant, men siden vi har avtakende grenseprodukt, så faller antallet fat når vi øker K.

R: Ikke sant! 8 tapper produserer 12 fat hver, 9 tapper produserer 11 fat hver, 10 tapper=10 fat/tapp og videre. Til slutt kommer vi til punktet der den fallende f'(k(s)) krysser ∂.

F: Vi må spare så mye at vi kan reprodusere den kapitalmengden som tilfredstiller denne.

Fredhaug og Robertsen setter seg på en bar i solsteiken og kjøper litt av det lokale øllet.

R: På tide å komme seg videre nå..

F: Jo, men Robertsen, du har kanskje oversikt på hva leserne lurer på?

R: Posten? Jo her.. Ja, vi har fått inn et leserspørsmål fra Torstein. Bilde også..

1. 
   Torstein12. august 2013 kl. 18:14

   Hei, har alltid lurt på om det er en fornuftig påstand å hevde at stabilitet (type skolevesen, veier osv) er den viktigste enkeltfaktoren for god økonomisk utvikling i et samfunn? At alle mulige skatter/fjerning av skatt og lignende incentiver bare er pirk?

F: Ioioioi. Tror Mr. T er inne på selve kjernen av problemet i dagens utviklingsøkonomi. Kommer til å ta et år dette.. Kanskje du kan oppsummere så langt Robertsen?

R: Jeoopppo0:

• En enkel vekstmodell (såkalt Solow-modell) uten teknologisk vekst eller befolkningsvekst.
• Predikerer at det eneste som egentlig er viktig for BNP - per innbygger - er kapital per innbygger.
• Eller, egentlig så ser vi bare på de som arbeider, L.
• Kapital ja, veier er et godt eksempel. Eller ølkraner.
• Imidlertid så er det fallende grenseproduktivitet på kapital.
• Så vi vil ikke ha for mye av det. Ikke mer enn at f'(k(s))=∂.
• Vi vil ha k*. Det gir oss y*, som er maksimal produksjon gitt k*..
• ..dersom vi forutsetter at vi ønsker å maksimere konsumert andel av inntekt, så finnes det en optimal sparerate som gjør at kapitalmengden vil tilfredsstille f'(k(s))=∂.
• OBS. Ikke endogen vekst i denne modellen. Altså øker ikke BNP per innbygger.

F: Altså: veier og skoler er viktige, og vi vil ha akkurat passe, for da kan vi konsumere mest mulig. Torstein får mer svar seinere han.

R: Men hva skjer dersom vi introduserer teknologi?

F: Jo.. Oi, et brev.

I vekst og utvikling - del 3: Das Kapital

Das Kapital - sammenhengen mellom vekst og .. kapital.

Første del

NEDERST I GATEN OG INN en dør, her finner Robertsen og Fredhaug en liten fabrikk som produserer mekaniske deler til den kinesiske bilindustrien.

R: Først bare, en liten digresjon. - Hvis vi vil at samfunnet skal bli flinkere til å handle økonomisk så må vi kunne forklare økonomiske påstander på en lettfattelig måte. For alle.
F: Selv bloggerne?
R: Selv bloggerne, du nå var jeg smart!

F: Ja.. On with it, shall we?

R: For bare få år siden var det kun peanøtter og erter som ble eksportert fra Mbeki's havn. Men her går det framover.

F: Skulle nesten ikke tro det, tatt i betrakning hvor vanskelig det er for afrikanske stater å bygge opp kapitalen (K) sin..
R: Vel her går det i allefall strålende.
F: Vi repeterer den neoklassiske vekstmodellen:
R: All sparing går til investering (S=I), i samme periode (S(t)=I(t))..
F: .. og investering består av to deler. Utslitt kapital, og tilvekst av ny kapital i denne perioden. Fra sist så kom vi fram til at endring i en variabel over tid kalles 'prikk'. Så I=∂K+Kprikk. ∂ står for depresiering (0<∂<1).
R: Og her kan vi selvsagt skrive om Kprikk til diskret tid, Kprikk=K(t+1)-K(t).
F: Ja men du må forklare hva diskret tid er. Hvis vi tenker oss at tiden er stykket opp i like store biter, så vil forrige periodes tid (t-1) ligge like langt fra t som t ligger fra neste periodes tid (t+1). Det vi nå ønsker å finne er hvilken mengde K som gir likevekt K* over flere perioder.
R: Så hvis vi sier at vi trekker en 45graders linje der K(t) i alle punkt tilsvarer K(t+1). Skal tegne det for deg Fredhaug..

To fabrikkarbeidere går forbi og blir unektelig fascinert av denne rare hvite som skribler på fabrikkveggen.

F: ..så trenger vi bare å definere en kurve ut der kapital er funksjon av seg selv K(t+1)(K(t)), som skjærer gjennom denne. Har rødtusj.

R: La oss fylle kurven med mening. Hvis vi ser nærmere på S, så kan det formuleres på to måter, i tillegg til S=I

• Sparing tilsvarer den delen av samlet inntekt som ikke går til konsum (C), altså S=Y-C
• Eller vi kan skrive sparing som konsumert andel (andel 0<s<1) av inntekt Y, så S=sY.

La oss for nå bare si at størrelsen på Y bestemmes av tre innsatsfaktorer. Som før - befolkning N - og kapital. I tillegg tar vi med teknologiske framsteg, A. Så v...

F: Vel, befolkningen består av arbeidende L, og ikke arbeidende. Kun L er en produksjonsfaktor.  

R: Åkei. Så vi kan si at

• Y(t)=F(L(t),A(t),K(t))

F: F står for ingenting mer enn "funksjon av..". Så vi har at Kprikk=K(t+1)-K(t)=I(t)-∂K(t)=S(t)-∂K(t)=sY(t)-∂K(t). Flytter vi over andre ledd i siste, så K(t+1)=sY(t)+(1-∂)K(t). 

R: Bytter ut Y(t) og

• K(t+1)=sF(L(t),A(t),K(t))+(1-∂)K(t)

F: En så anvendelig likning at jeg har lyst til å gi den et navn. Og jeg skal kalle den.. (1)

• K(t+1)=sF(L(t),A(t),K(t))+(1-∂)K(t)                             (1)

R: Jeg må ha meg en pause, damn det er varmt. Så kan vi fortsette med fjerde del.

I vekst og utvikling - del 2: et godt mål på vekst

Økonomene Robertsen og Fredheim har akkurat gått i land i det lille vest-afrikanske landet Zumba-Mbeki. Foran seg ser de merkelig nok først bare tre muskuløse unge menn som tar armhevninger foran en slevende middelaldrende hvit kvinne. Det var litt spesielt tenker Fredheim før han småspringer etter Robertsen opp stranda. De tusler så sammen inn i hovedstaden, Mbeki.

R: Jæ, hørt at det skal være masse bra vekst i dette landet da. Nasjonalproduktet er på Y..
F: I USA er det tilsvarende 1287Y - sist jeg sjekket.
R: Nei d… ...uansett, det er jo heller ikke så mange folk her da, N...
F: I USA tilsvarer N 283N, så man kan jo argumentere for at det står bedre til enn fryktet da. Y/N er ikke så hakkendes gal. Men kun en femtedel så høy som i USA.
R: Oh oh, Y/N, så nyttig. La oss kalle det y. Og sammenliknet med USA så ender vi jo faktisk på - røffly en femdel. Lurer på hvordan det var i fjor..
F: Vel Zumba-Mbeki er faktisk bare 1 år gammelt.
R: Såeh. Verdens yngste stat!
F: Så altså hvis t=tid så er Y(t) bruttonasjonalproduktet tilhørende alle år. Vi sier at Y(t)=C+at.
R: Hah Y(0)=C.
F: Det var i fjor, i år er Y(1)=C+a

De to økonomene tusler ned gaten og kikker inn i basarer og hvitevareforretninger. 

F: jeg vil tro at det eneste disse menneskene egentlig bryr seg om, er hvordan folks kjøpekraft endrer seg over tid. Altså de vet godt at C var i fjor..
R: ..endringen i kjøpekraft per periode, dY/dt=a
F: Det høres ut som et mål som betyr noe.

R: Og vi kaller det!.. Y prikk.
F: Okei..
R: Endring i kjøpekraft per periode per hode er da y prikk = a/N
F: Tatt i betrakning, så vil den tilsvarende størrelsen til a i USA være på 245a. Så 245a/283N<a/N. I forhold til y prikk kommer Zumba bedre ut.
R: Jeg kaller det "god grunn til å være optimist".
F: Jo, men det vi trenger nå er mer spesifikt et mål på den mer .. abstrakte størrelsen 'utvikling'.